Kvadratické nerovnice

Připomenutí: Graf kvadratické funkce

Grafem kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c, je křivka, která se nazývá parabola.

Je-li a > 0, parabola se otevírá směrem nahoru ("má tvar misky") a nazýváme ji konvexní.

Je-li a < 0, parabola se otevírá směrem dolů ("má tvar kopce") a nazýváme ji konkávní.

Důležitými body grafu jsou:

průsečíky grafu funkce se souřadnicovými osami Px, Px´, Py
vrchol paraboly V

Parabola

Připomenutí: Postup výpočtu souřadnic průsečíků paraboly (řešení kvadratické rovnice)

Průsečík s osou x

Do kvadratické rovnice y = ax2 + bx + c dosadíme za y = 0, tím dostaneme kvadratickou rovnici s neznámou x.
Vyřešíme rovnici. Pokud dostaneme:
- D > 0, pak získáme dva kořeny - parabola má dva průsečíky s osou x se souřadnicemi Px1 [ x1; 0] a Px2 [ x2; 0],
- D = 0, pak získáme jeden dvojnásobný kořen, parabola má 1 průsečík který je zároveň vrcholem paraboly, tj. Px1 [ x1; 0] = V,
- D < 0, pak je rovnice bez reálných kořenů, parabola nemá průsečíky s osou x.

Průsečík s osou y

Dosadíme za x = 0. Tím dostaneme rovnici s neznámou y.
Vyřešíme rovnici. Průsečík s osou y má souřadnice Py [ 0; yv].

Kvadratické nerovnice a jejich řešení

Kvadratická nerovnice o jedné neznámé x je nerovnice typu ax2 + bx + c > 0 (případně <, ≥, ≤), kde a ≠ 0.

Při řešení nejprve hledáme tzv. nulové body (kořeny) kvadratické rovnice, které nám rozdělí číselnou osu na intervaly.

Pro nalezení nulových bodů (kořenů) kvadratické rovnice lze použít:

Výpočet pomocí diskriminantu

(univerzální metoda pro jakýkoliv tvar ax2 + bx + c = 0)

Vypočítáme diskriminant: D= b2 - 4ac
Vypočítáme kořeny: x1,2 = (- b ± √ D)/2a

Rozklad na součin (Vietovy vzorce)

(nejrychlejší metoda pro "hezká" čísla, zejména když a = 1)

Vypočítámekořeny x1,2 pro která platí: x1 * x2 = c ∧ x1 + x2 = - b

Obecné řešení kvadratické nerovnice pomocí diskriminantu

ax2 + bx + c > 0, kde a > 0

D > 0, získáme 2 kořeny: x1, x2

> ⇒ x ∈ (-∞; x1) ∪ (x2; ∞)

< ⇒ x ∈ ( x1; x2)

≥ ⇒ x ∈ (-∞; x1⟩ ∪ ⟨x2; ∞)

≤ ⇒ x ∈ ⟨x1; x2⟩

D = 0, získáme 1 dvojnásobný kořen: x1

> ⇒ x ∈ (-∞; x1) ∪ (x1; ∞)

< ⇒ x ∈ ∅

≥ ⇒ x ∈ (-∞; ∞)

≤ ⇒ x ∈ {x1}

D < 0, neexistují reálné kořeny: x = ∅

> ⇒ x ∈ (-∞; ∞)

< ⇒ x ∈ ∅

≥ ⇒ x ∈ (-∞; ∞)

≤ ⇒ x ∈ ∅

K zamyšlení: Jak by se změnilo obecné řešení kvadratické nerovnice ax2 + bx + c > 0, kde a < 0?

Příklady

Vyřešte kvadratické nerovnice. (kořeny, graf, řešení)

Cvičení 1

a) x2 - 2x - 3 < 0

b) x2 - 2x - 3 > 0

c) x2 - 2x - 3 ≥ 0

Cvičení 2

a) x2 - 6x + 9 > 0

b) x2 - 6x + 9 < 0

c) x2 - 6x + 9 ≤ 0

Cvičení 3

a) 3x2 + 6x + 4 > 0

b) 3x2 + 6x + 4 < 0

PL 1 - Kvadratické nerovnice (příklady k procvičení)

Pracovní listy

PL 1 - Kvadratické nerovnice (příklady k procvičení)

Opakovací otázky

Zdroje

MARKOVÁ, Kateřina - MACÁLKOVÁ, Lenka. Matematika pro střední odborná učiliště - 2.díl Rovnice a nerovnice, funkce. 1. vyd. Brno: Didaktis, 2021. 100 s. ISBN 978-80-7358-341-5.
URL: <http://cs.wikipedia.org> <https://www.youtube.com> Všechny uveřejněné odkazy [cit. 16.04.2026]

Zpět

Page updated

Google Sites

Report abuse